Equação Linear

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas em que o número de equações e o número de incógnitas na equação forem iguais.
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução, devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calculamos os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz:

Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
x1 = D1/D

x2 = D2/D

x3 = D3/D


Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:




Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.





. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.



D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.

Agora devemos substituir os termos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.





. Agora calculamos o seu determinante representado por Dx.



Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.





. Agora calculamos o seu determinante Dy.



Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.





. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.




Dz= -2 + 18 + 16 + 24 - 3 - 8
Dz= 45

Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos
independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.

A incógnita x = Dx/D = 15/15 = 1


A incógnita y = Dy/D = 30/15 = 2


A incógnita z = Dz/D = 45/15 = 3

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.

DESAFIO

Devemos estimular os alunos através de jogos e dinâmicas, a fim de promover um ambiente tranqüilo e interessante, que facilite o processo ensino-aprendizagem.
Este jogo tem por finalidade avaliar os princípios fundamentais matemáticos e verificar a capacidade de adaptação de questões na busca do resultado exato por parte dos alunos.

Este desafio deverá ser aplicado no Ensino Médio.

1º passo – Entregar aos alunos as questões e dar um tempo para que eles respondam. No papel de professor, oriente-os a buscar os caminhos corretos, buscando conceitos em conteúdos anteriores, incentivando-os a revisarem os conteúdos já estudados que serão usados frequentemente no Ensino Médio.

Utilizando das propriedades matemáticas adequadas, complete as sentenças a seguir no intuito de encontrar o resultado esperado. Dica: utilize sinais operatórios, regras básicas de Matemática...

1 1 1 = 6
2 2 2 = 6
3 3 3 = 6
4 4 4 = 6
5 5 5 = 6
6 6 6 = 6
7 7 7 = 6
8 8 8 = 6
9 9 9 = 6

2º Passo – Finalizado o tempo, resolva as sentenças com os alunos, explicando cada passo e aproveitando para revisar fundamentos importantes e necessários para um bom desempenho em Matemática.

Respostas:

(1 + 1 + 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
!: fatorial

2 + 2 + 2 = 6

3 x 3 – 3 = 9 – 3 = 6

√4 + √4 + √4 = 2 + 2 + 2 = 6

5 : 5 + 5 = 1 + 5 = 6

6 x 6 : 6 = 36 : 6 = 6

– (7 : 7) + 7 = – 1 + 7 = 6

Aplique raiz cúbica: √8 + √8 + √8 = 2 + 2 + 2 = 6

√9 x √9 – √9 = 3 x 3 – 3 = 6

Como surgiram os Números Negativos?

Segundo Geovanni Castruci e Geovanni Jr., foi difícil a aceitação da idéias da existência de números negativos.
Os próprios gregos, na Antigüidade, reconhecidos como grandes pensadores e responsáveis pelo desenvolvimento da à Geometria, não conheciam o número negativo, mas os hindus do século VII já usavam quantidades negativas; O período de maior desenvolvimento da antiga civilização hindu ocorreu entre 2000 a.C.. e 700 d.C., o período de maior desenvolvimento da antiga civilização grega ocorreu entre 1100 a.C. a 400 a.C.
Um deles, chamado Bramagupta, estabeleceu regras de sinais para operar com números negativos, envolvendo esses números em um pequeno círculo ou usando um apóstrofo sobre eles, para distingui-los dos demais. Outro notável matemático hindu, Bháskara, interpretava os números negativos como “pedra” ou “divida”. Entretanto, os hindus se recusavam a aceitar que quantidades negativas pudessem ser expressas pela idéia de números.
Os árabes, divulgadores e continuadores da cultura matemática hindu, não trouxeram nenhum acréscimo a essa questão.
Foi somente por volta do século XIII que o italiano Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, em uma obra sobre Álgebra, interpreta a resposta negativa de um problema como número. O problema pedia o lucro de um comerciante. Fibonacci afirmou: “Este problema não tem solução, a menos que interpretemos a dívida como sendo um número negativo”.
Assim, pouco a pouco, os números negativos foram aceitos como números até que, em 1659 (século XVII), letras foram usadas pela primeira vez para representar tanto os números positivos quanto os negativos.A idéias do número negativo só foi plenamente aceita a partir do século XVII.
Foi nesse período que o homem passou a ter necessidade de usar a adição e a subtração de números inteiros. Entretanto, a multiplicação com números negativos foi mais difícil de ser aceita e compreendida na época. Demorou ainda um pouco para que os matemáticos, aplicando seus conhecimentos sobre a multiplicação de números naturais, pudessem dar um resultado para a multiplicação de dois números inteiros.
(Geovanni Castruci e Geovani Jr. 1985. p.28)

A invenção do zero
Por meio de seus dez algarismos de base (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0), nossa numeração escrita atual permite não apenas uma representação simples e perfeitamente racional de qualquer número, mas ainda uma prática muito cômoda de todas as operações aritméticas. A superioridade e a engenhosidade de nossa numeração moderna provém na realidade da reunião do princípio da posição e do conceito denominado zero.
Até então, apenas três povos conseguiram descobrir o princípio de posição: os babilônios, os chineses e os maias, que foram assim os primeiros da história a poder representar qualquer número, por maior que fosse, por meio de uma quantidade bastante limitada de algarismos de base.
Dois desse três povos, os babilônios e os maias, inventaram em seguida o zero (servindo este signo particular para marcar a ausência das unidades de uma certa casa absolutamente indispensável quando se aplica rigorosamente a regra numeral precedente). Graças a isto, eles conseguiram eliminar qualquer ambigüidade na escrita dos números, mas, ainda assim, não souberam tirar todo o proveito possível desta descoberta capital.
O zero maia foi, de fato, empregado no meio e no final das representações numéricas. Mas, em função da anomalia que os sacerdotes e astrônomos maias introduziram na terceira posição, adaptando sua numeração à astronomia e ao calendário, este ficou privado de qualquer possibilidade operatória.
Quanto ao zero babilônico, ele não apenas desempenhou este papel como preencheu igualmente a função de um operador aritmético (o que significa que o acréscimo de um zero no final de uma representação por algarismos multiplicava o valor do número correspondente pela base sessenta). Mas ele nunca foi concebido como um número, isto é, como sinônimo da “quantidade nula”.
Foi em função destas imperfeições que os sistemas posicionais babilônicos, chinês e maia permaneceram para sempre impróprios à prática das operações aritméticas e que os dois zeros precedentes nunca puderam dar origem a desenvolvimentos matemáticos.

Vídeo-aula Determinantes

Vídeo-aula de Matrizes

Dicas que não aparecem em nenhum livro de matemática

1. A soma dos dígitos de qualquer número inteiro multiplicado por 9 é sempre igual a 9 ou um múltiplo de 9. Ex: 13 x 9 = 117 (1 + 1 + 7 = 9). Isso é útil para saber se um número é divisível por 9 ou não (com resto zero) sem fazer conta.

2. A mesma regra vale para os múltiplos de 3, cuja soma dos dígitos será sempre 3, 6 ou 9. E se o número for par, automaticamente será divisível por 6 também.

3. Para saber se um número é divisível por 11, calcule a diferença entre o último dígito e os restantes. Se for múltiplo de 11 ou 0 é divisível por ele. Ex: 3938 (393 – 8 = 385 → 38 – 5 = 33)

4. Para saber se é divisível por 7, o procedimento é parecido com o do 11. A diferença é que o último dígito deve ser multiplicado por 2. Ex: 1113 (111 – (3 x 2) = 105 → 10 – 10 = 0)

5. Essa é um pouco mais complicada de entender: quando multiplicamos dois números quaisquer, se somarmos ao resultado deste produto a metade da diferença entre esses números ao quadrado, o resultado será a média dos dois ao quadrado. Ex: 28 x 12 = 336. A média de ambos é 20 (28 + 12 = 40 e 40 dividido por 2 é igual a 20). A diferença é 16 (28 – 12). A metade da diferença é 8. 8 ao quadrado é 64. Se somarmos 336 + 64, temos 400, que é o mesmo que 20 (a média entre 12 e 28) elevada ao quadrado.

6. Considere um número x. Se dividirmos x por x – 1 obteremos y. Em seguida, se somarmos ou multiplicarmos o x pelo y, o resultado será sempre o mesmo. Ex: Suponhamos que x seja 4. Nesse caso, x – 1 será igual a 3, e x dividido por y é igual a 1,33333... Se somarmos 4 + 1,3333..., teremos 5,33333.... Se multiplicarmos os dois números, o resultado também será 5,3333....